6В попадает в пределы допустимого напряжения. Читаем даташиты на 6Н2П. И да, для правильной работы 7806 требуется разница минимум в 3 вольта по входу. Т.е. минимальное входное 9В, иначе стабилизации не будет.
Можно перейти на регулируемые типа LM317, но придется печатку перерисовать. Если транс на 12В, то это даже удобнее. Как-раз хватит на разницу в стабилизации 1.5В. Для 12.6В при стандартных 240 ом в делителе надо резистор 2.2ком.
Радиатор обязательно. На 2 лампы ток будет 340 мА, что выше допустимого без радиатора.