внешне такая логичная буквенно-цифровая запись аккордов на самом деле ничуть не менее дурацкая
Буквенно-цифровая запись имеет практическую направленность, отчего можно заключить, что она не содержит в себе цели давать развёрнутый гармонический анализ и даже истинно отображать гармонические (функциональные) процессы; оттого такая претензия к ней несправедлива. Т.е., с точки зрения наглядности и удобства исполнения исполнения произведений, к ней претензий нет; а вот с точки зрения истинного отображения функциональности, она такова же, как и теория, на которой она базируется.
Если говорить о "тоновых составах" Am7 и C6, то они идентичны (c+e+g+a, либо a+c+e+g).
Если говорить о "басе", то... Некоторые считают, что эти аккорды различаются басом (мол, в Am7 бас "a", а в C6 -- бас "c"), но определение по басу того, какой именно это аккорд -- бесперспективно: потому что, имея дело с определённым тоновым составом, располагая составляющие данный аккорд тоны в различном (по высоте) порядке (в разных октавах), мы изменяем "вид" (обращение / мел. положение / расположение тонов) данного аккорда, а не сам аккорд, и, следовательно, не отвечаем на вопрос о том, какой это аккорд.
Если говорить об "основании" ("тонике"/"корне"/"приме"), то... Данное звукосочетание содержит в себе две квинты (A5+C5), что свидетельствует о его поли-аккордовости (если мыслить квинту как аккорд. а квинта -- аккорд. об аккордообразующей роли квинты [и её обращения -- кварты] можно написать немало, но это лишь уведёт от обсуждения данной темы) и делает невозможным в отрыве от контекста определение того, какой именно это аккорд. С таким же успехом большой_мажорный_септ-аккорд можно называть "минорным трезвучием с добавленной малой секстой"; малый_мажорный_септ-аккорд (доминант-септ-аккорд) -- "уменьшённым трезвучием с добавленной малой секстой" и многое другое.
Итого остаётся гармонический контекст. Именно он мне мыслится рациональнейшим мерилом того, о каком аккорде речь.