Перевод слова "импровизация" (франц., итальянский) внезапный, неожиданный.
Во времена романтизма великие музыканты и композиторы не представляли себе публичного исполнения без свободной импровизации. Это Бетховен, Шуберт, Вагнер и Паганини.
Импровизация "задается" духом исполняемой музыки. Есть гармония, темп и общая концепция произведения.
Вариации - это обыгрывание темы. (Не путать с импровизацией).
Как и в математике, например, сначала таблица умножения, а потом интегралы, так и в импровизации - сначала нужно научиться у тех, кто это хорошо делает, а потом уже самому пытаться повторить.
Как тут уже было сказано, нужен "набор кирпичей", фишек, фраз, приемов и понимания связок этих элементов в единую логичную цепочку. Из этих кирпичей и лепится, как из мозаики, импровизация. И чем их больше, чем они разнообразнее, тем проще импровизировать.
Далее: предслышание нот, гармонических оборотов и общего развития музыки. Это достигается только ударами шпаги. Если проще - эмпирически. Еще проще - опытом. И больше ничем. Ни на каком форуме и никакой литературой этого не добьёшьсяь. (Здесь принято хаять кабацких музыкантов за "Мурку" и "Владимирский централ". Но для них, кстати, нет и никогда не было никаких проблем с импровизацией
Следующее: импровизация - это сочинение музыки в процессе ее исполнения. Именно музыки, а не набора нот. А поскольку каждому музыкальному стилю соответствуют свои законы и нюансы, то играть пентатонику в джазе так же нелепо как пилить гаммы в блюзе. Поэтому, импровизация должна соответствовать общей канве.
И последнее: не доводить до инфаркта остальных музыкантов. Не усложнять им жизнь и не заставлять их выворачиваться на изнанку из-за вашей нетленной, гениальной импровизации. О публике я уже и не говорю...